L'ABC dei numeri primi

Secondo quanto riportato sulla rivista Nature, il matematico giapponese Shinichi Mochizuki, dell'università di Kyoto avrebbe pubblicato la prova della dimostrazione di uno dei problemi ancora aperti della matematica: la congettura ABC.

In matematica si ha una congettura quando partendo da una ipotesi non esiste la dimostrazione formale della tesi. È stata famosissima per secoli la Congettura di Fermat, che fino alla sua effettiva dimostrazione, era chiamata molto impropriamente Ultimo Teorema di Fermat, più per semplificazione giornalistica che altro. In effetti in matematica si parla di teorema se la dimostrazione c'è ed è verificata.

Nello specifico la congettura ABC ha una impostazione molto simile a quella di Fermat, ma riguarda i numeri primi. A tutti gli effetti sia la congettura ABC che il Teorema di Fermat sono problemi della stessa classe, ossia quella dei problemi diofantei, ossia equazioni a coefficienti interi a soluzione intere.

Dati 3 numeri interi a,b,c, in relazione tra loro mediante l'uguaglianza a+b = c  e privi di fattori comuni  diversi tra loro. Se si chiama d il prodotto dei fattori primi dei tre numeri si ha che "raramente" d è più piccolo di c.

La definizione del numero d implica l'uso dell'operatore "radicale di n", ossia il prodotto dei distinti fattori primi di un dato numero n.

Per esempio se a=3, b= 125, c=128, e poiché 3 è primo, e 125= 5³ e 128 =2⁷, ne segue che il rad(3*125*128) = rad (3*5³*2⁷)=3*5*2=30.

Che una congettura matematica abbia in se un termine così sfumato come raramente è un caso abbastanza singolare. Detto in soldoni equivale a dire che esiste un numero finito di casi per cui la congettura non è vera. 

La congettura però nasce nel 1985, a seguito di due lavori diversi dei matematici David Masser e Joseph Oesterlé che, come capita spesso, arrivarono alla stessa scoperta quasi in contemporanea, pur usando metodi diversi.

I commenti del mondo accademico sono improntati alla prudenza ovviamente, e pur se entusiastici, espressi con formule dubitative. La pubblicazione dei risultati consta di un tomo di 500 e passa pagine, che sarà durissimo da esaminare.

Secondo Dorian Goldfeld della Columbia University di New York "qualora ne fosse dimostrata la verità, la dimostrazione della congettura ABC risolverebbe in un solo colpo moltissimi problemi diofantei e sarebbe uno dei risultati più stupefacenti del XXI secolo."

È stretto in effetti il legame tra questo problema e intere classi di problemi diofantei e con le relazioni tra numeri primi. Per esempio è banale che per le terne di numeri primi otteniamo un d che, per definizione è sempre maggiore di c.

Un'altra conseguenza è che il rapporto tra il rad(abc)^r/c sarà sempre maggiore di zero per qualsiasi r>1. Nell'esempio di cui sopra per r=2 otteniamo che rad(abc)²/c= 900/128. Banalmente in questo caso è maggiore di 1 per cui è maggiore di zero.

La congettura ABC quindi in realtà contiene proprio altri problemi diofantei in se, tra i quali proprio il già enunciato teorema di Fermat che afferma che l'equazione a coefficienti interi aⁿ+bⁿ=cⁿ non ha soluzioni intere per n>2.

Se quindi la congettura ABC diventasse il Teorema ABC, ossia venisse provata la sua dimostrazione, è probabile che non solo questo assumerebbe il nome definitivo di Teorema ABC di David Masser, Mochizuki e Oesterlé, ma costituirebbe la strada per risolvere altri problemi della stessa classe in termine di relazione tra numeri primi, come afferma anche il matematico Brian Conrad, dell'Università di Stanford, California.

Non è la prima volta che un matematico afferma di aver trovato la dimostrazione della congettura ABC. Nel 2007 il francese Lucien Szpiro, dai cui lavori era in realtà stata ricavata proprio la congettura, sottopose la sua dimostrazione alla comunità scientifica, che ne trovò le falle.

Anche Andrew Wiles nel 1993 pubblicò una versione fallace della sua dimostrazione del Teorema di Fermat, che poi egli stesso corresse nel 1994. Wiles lo dimostrò trovando una connessione con la teoria delle curve ellittiche strada che hanno battuto sia Szpiro, fallendo, che ora Mochizuki, per la congettura ABC.

Secondo quanto riportano le nostre fonti però Mochizuki è andato oltre, arrivando a definire nuova matematica, ossia nuove entità astratte analoghe ai più noti oggetti geometrici, insiemi, permutazioni, topologie e matrici. Al momento sembra che l'unico che abbia una visione chiara dell'intero lavoro sia solo il suo autore. Pertanto bisogna rimettersi a studiare, e molto, solo per poterla leggere. Una bella sfida. D'altra parte è solo un preconcetto quello di chi crede che il matematico esprima solo certezze. Il dubbio è alla base di ogni scienza, figuriamoci della matematica.

Sarà quindi necessario molto tempo affinché la comunità scientifica  possa vagliare tutti gli elementi. Poiché ormai tutto in questo mondo è misurato in termini di costi, di ore di lavoro impiegate da parte di quelli che una volta erano esseri umani ma ora sono definiti "risorse", è probabile che non sarà tanto l'annuncio del risultato in sé a smuovere la comunità scientifica, quanto il prestigio internazionale del suo autore, che ha dato prova in passato di affidabilità, dimostrando alcuni importanti risultati.

Secondo Conrad non solo i trascorsi di Mochizuki meritano la fatica e l'investimento, ma l'aspetto più interessante di questa dimostrazione, qualora venisse convalidata, è che gli strumenti e le tecniche messi a punto per realizzarla potrebbero essere di grande ausilio per risolvere futuri problemi nella teoria dei numeri.