Oggi, 24 settembre 2018, potrebbe essere un giorno storico per la matematica. Il matematico in pensione Sir Michael Francis Atiyah presenterà in una conferenza all'Heidelberg Laureate Forum in Germania quella che ha definito, "una semplice dimostrazione" della congettura (o ipotesi) di Riemann, uno dei problemi aperti più affascinanti della matematica, indimostrato da quasi 160 anni, intimamente collegato ai numeri primi.
Chi si propone di averlo dimostrato non è l'ultimo arrivato. Atiyah, nato nel 1929, ha vinto la Medaglia Fields nel 1966 e il Premio Abel nel 2004, premi che per la matematica sono paragonabili al Nobel. Inoltre è stato presidente della London Mathematical Society, della Royal Society e della Royal Society di Edimburgo.
L'Heidelberg Laureate Forum al quale parteciperà, che potremmo tradurre come il Forum dei laureati di Heidelberg è un evento di una settimana che unisce attività scientifiche, sociali e di sensibilizzazione, al quale sono invitati vincitori dei più prestigiosi riconoscimenti in matematica e informatica, come il Premio Abel, l'ACM AM Turing Award, l'ACM Prize in Computing, Fields Medal e il Nevanlinna Prize. Insomma un convegno di rock star della matematica.
Ma le cose non sono così semplici. Quello che Atiyah ha affrontato è un problema, tra quelli irrisolti della matematica, tra i più complessi e pieni d'implicazioni.
La congettura di Riemann: storia
La congettura di Riemann, che non è appunto definita teorema perché non è stata ancora dimostrata, è intimamente connessa alla distribuzione dei numeri primi, ossia i numeri interi maggiori di 1 divisibili solo per se stessi e per 1. Se la definizione di numero primo è relativamente semplice, e per numeri piccoli il calcolo è veloce, man mano che i numeri crescono di dimensione è sempre più lungo il tempo necessario stabilire se un numero sia primo o meno.
Il saggio del docente di matematica all'Università di Oxford Marcus Du Sautoy, L'enigma dei numeri primi – L'ipotesi di Riemann, l'ultimo grande mistero della matematica racconta la storia della ricerca nei secoli di criteri per elaborare numeri primi e dei tentativi finora infruttuosi per dimostrare la congettura di Riemann, elaborata nel 1859.
41 anni dopo David Hilbert la inserì all'ottavo posto tra i famosi ventitré problemi irrisolti della matematica presentati al Congresso internazionale dei matematici alla Sorbona di Parigi nell'agosto del 1900. L'estrema fiducia dei matematici dei primi del '900 non si era ancora scontrata con la scoperta, dovuta ai teoremi di Gödel, che nei sistemi matematici potevano esistere congetture vere ma non dimostrabili.
La congettura è rimasta indimostrata per tutto lo scorso secolo e fino a oggi, rimanendo uno dei due problemi ancora aperti tra i 23.
Nel 2000 il Clay Mathematics Institute l'ha inserita tra i sette grandi problemi della matematica, per i quali ha offerto un premio di un milione di dollari a chi riuscirà a provarli.
Secondo quanto anticipato da Atiyah, la sua proposta di dimostrazione renderebbe omaggio a due grandi matematici del XX secolo, John von Neumann e Friedrich Hirzebruch, le cui scoperte ne avrebbero posto le basi. Una dimostrazione così semplice che Atiyah ha affermato: Mi è caduta tra le ginocchia, ho dovuto prenderla.
New Scientist ha preso contatto con molti matematici per commentare la presunta dimostrazione, ma hanno tutti rifiutato. Atiyah ha scritto in questi anni molti articoli che però non hanno convinto i revisori.
Atiyah attribuisce questo rifiuto alla generale convinzione che i matematici realizzino i loro lavori migliori entro i 40 anni. La stessa medaglia Fields è attribuita a matematici che non abbiano superato i 40, in modo molto rigoroso. Andrew Wiles, passato alla storia per aver dimostrato l'Ultimo teorema di Fermat, non la vinse perché arrivò alla definitiva prova della sua scoperta poco dopo i 40 anni, ma gli fu comunque attribuito un premio speciale per l'occasione, data la storica portata della sua scoperta.
L'obiettivo di Atiyah è quindi anche quello di dimostrare che è possibile scoprire qualcosa di nuovo anche a 90 anni.
È comunque vera anche un'altra affermazione di Atiyah, ossia che nessuno crede a una dimostrazione della congettura di Riemann
, non immediatamente almeno, perché si tratta di un problema che resiste all'assalto dei matematici di ogni generazione dal 1859.
La congettura di Riemann: definizione e implicazioni
La formulazione divulgativa della congettura di Riemann non è immediata. Data la funzione ζ (zeta), definita per ogni numero s del piano complesso dalla seguente serie:
La funzione ζ(s) si annulla per i valori interi negativi pari di s; per esempio -2, -4 detti zeri banali.
Secondo la congettura di Riemann tutti gli altri numeri complessi s per cui ζ(s) = 0, detti zeri non banali della funzione zeta, hanno parte reale ½, ovvero sono sulla retta di equazione x =½, detta retta critica.
Senza entrare nei dettagli formali, quello che c'è da sapere, in soldoni, è che se la congettura di Riemann non è ancora dimostrata per tutti i possibili s, non si è ancora trovato un s che la smentisca. Qualcuno ipotizza che potrebbe essere uno di quei problemi veri ma indimostrabili. Altra affermazione che però non è dimostrata perché se lo fosse, sarebbe implicitamente una dimostrazione della validità della congettura.
Si è verificato invece, in modo non banale e molto complesso, come la distribuzione degli zeri non banali di ζ(s) sia invece strettamente legata alla distribuzione dei numeri primi. Per cui se fosse dimostrata la congettura di Riemann i matematici sarebbero dotati di una sorta di mappa della distribuzione di tutti i numeri primi, una svolta con ripercussioni di vasta portata in molti campo teorici e applicativo, come per esempio la crittografia.
Basti pensare che i moderni algoritmi di crittografia sono basati su chiavi di numeri primi abbastanza grandi da non essere calcolati in breve tempo. Se fosse possibile in qualche modo individuare un numero primo con una formula, ogni algoritmo di crittografia attuale diventerebbe obsoleto.
Questo darebbe una bella mazzata al commercio elettronico e alle comunicazioni, tanto per cominciare. Di contro la scoperta potrebbe contribuire però a realizzare altri metodi altri più sicuri di crittografia.
In ogni caso è ancora presto per temere conseguenze sui nostri conti correnti e le nostre chat su Whatsapp. Stiamo parlando di una proposta di dimostrazione, non di una dimostrazione verificata. Gli articoli di Atiya sono stati vagliati in passato da severe commissioni, e anche in questo caso si passerà dalla enunciazione dei risultati alle verifiche. Non sarebbe la prima né l'ultima volta che agli annunci seguirebbe la smentita.
Attendiamo quindi non solo le prossime ore, ma anche i giorni a venire.
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